Dlaczego being?

Dlaczego w takich zdaniach po "of" występuje końcówka -ing (being)
"We walked quietly for fear of being discovered"

for / of being
I am not sure if there is a specific rule that applies here.

przyimek 'of' musi mieć dopełnienie, a tylko forma rzeczownikowa (np. a cat, discovering, being discovered) może być dopełnieniem. Jak widzisz na przykładach możemy utworzyć rzeczownik od czasownika za pomocą końcówki 'ing'.

A czemu being discovered a nie discovering? Bo to jest strona bierna. Oni nie chcieli być znalezieni.

najprosciej ujmujac: kiedy po przyimku (about, on, of etc) wystepuje czasownik, ow czasownik wystepuje w formie 'ing'

A dude from BBC Learning English puts it this way:
When an adjective/noun/verb is followed by preposition, the verb that follows that preposition usually ends with -ing,

chyba jednak moj opis jest latwiejszy do zrozumienia, nie sadzisz Aaric?

I didn't say it wasn't.

You didn't say it was either, so what's the point in saying anything about it?

I didn't say anything at all about your post.
You're the one that have a problem with mine.

Who says it was all about my post in the first place, eh?

Any good shrinks in your area?

Dunno. Why the sudden change of the subject on your part, eh? Why not stick to the original topic of the thread instead?

he probably doesn't discriminate between the preposition 'to' and the particle 'to', which marks the infinitive in English.

A w poniższym zdaniu dlaczego występuje calling, czyli forma gerund po "try":
1/"you might try calling him again. "
A w poniższym zdaniu dlaczego na końcu występuje "with"?
2/"May I have something to write with? "

1. chodzi o wyprobowanie tej metody
2. write with something = pisać czymś

I have something to write znaczy 'Mam cos do napisania' (jakis tekst, moze rozprawke)
I have something to write with znaczy 'Mam cos do pisania' (np. dlugopis badz pioro), czyli May I have something to write with? jest prosba 'Czy moge prosic cos do pisania?' (bo nie wzielam ze soba dlugopisu) vs May I have something to write? 'Czy moge prosic cos do napisania?' (prosze zadac mi cos do napsiania, np. list do przyjaciolki, jako zadanie w szkole)

Przypomnialo mi sie to:
Ending a sentence with a preposition is something up with which I will not put.

tak wlasnie kiedys j. angielski wygladal - jak polski, gdzie nie mialo znaczenie, gdzie co sie znajduje, i tak mozna bylo wszystko zrozumiec; a teraz, tak go 'znieksztalcili', ze jak cos zle w szeregu ulozyc to moga nie pojac, o co w ogole biega

Czyli co zawsze po try jest forma gerund?

Mozna tez 'try to call" ale jest roznica w znaczeniu.

nie, to są różne znaczenia
wyprobowac cos (zeby osiagnac inny cel - gerund
sprobowac cos zrobic (nie wiadomo w ogole, czy to sie uda) - infinitive

moze takie cos Ci pomoze:
Try to call him this morning. - postaraj sie do niego zadzwonic dzisiaj rano (powinnas tak uczynic, takie ponaglenie)
Try calling him this morning. - moze sprobuj zadzwonic do niego dzisiaj rano (taka rada/sugestia, warto sprobowac)