pursuit of happiness ma znaczenie przenośne, coś jak dążenie do szczęścia.
run for happiness to znaczenie dosłowne, czyli takie, gdzie faktycznie biegniemy w jakiejś imprezie sportowej, w szczytnym celu.
To autor pytania musi zdecydować w jakim kontakście używa tu języka. Obie formy są poprawne, ale kluczem jest kontekst